Проблема математика на Щурм-Лиувил

Проблемът на Щурм-Лиувил или собствената стойност на математиката, определен клас от частични диференциални уравнения (PDE), подлежащи на допълнителни ограничения, известни като гранични стойности, върху решенията. Такива уравнения са често срещани както в класическата физика (напр. Топлопроводимост), така и в квантовата механика (напр. Уравнение на Шрьодингер) за описване на процеси, при които някаква външна стойност (гранична стойност) се поддържа постоянна, докато интересуващата система предава някаква форма на енергия.

В средата на 30-те френските математици Чарлз-Франсоа Щурм и Джоузеф Лиувил независимо работят по проблема с топлопроводимостта през метална пръчка, в процеса на разработване на техники за решаване на голям клас PDE, най-простите от които приемат формата [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, където y е някакво физическо количество (или квантовата механична вълнова функция) и λ е параметър, или собствено значение, което ограничава уравнението така че y удовлетворява граничните стойности в крайните точки на интервала, през който променливата x варира. Ако функциите p, q и r удовлетворяват подходящи условия, уравнението ще има семейство от решения, наречени собствени функции, съответстващи на решенията за собствени стойности.

За по-сложния нееднороден случай, в който дясната страна на горното уравнение е функция, f (x), а не нула, собствените стойности на съответното хомогенно уравнение могат да бъдат сравнени с собствените стойности на първоначалното уравнение. Ако тези стойности са различни, проблемът ще има уникално решение. От друга страна, ако една от тези собствени стойности съвпада, проблемът няма да има решение или цяла фамилия решения, в зависимост от свойствата на функцията f (x).