Вятърна мелница на Евклид

Питагоровата теорема гласи, че сборът от квадратите на краката на десен триъгълник е равен на квадрата на хипотенузата (страната, противоположна на десния ъгъл) - в позната алгебрична обозначение, a ² + b ² = c ². Вавилонците и египтяните са намерили няколко цели тройки (a, b, c), удовлетворяващи връзката. Питагор (около 580 - около 500 г. пр.н.е.) или някой от неговите последователи може би е първият, който доказва теоремата, която носи неговото име. Евклид (ок. 300 г. пр.н.е.) предложи умела демонстрация на питагорейската теорема в неговите Елементи, известна като доказателство на Вятърната мелница от формата на фигурата.

1. Начертайте квадратчета отстрани на дясната ΔABC.

2. BCH и ACK са прави линии, защото ∠ACB = 90 °.

3. ∠EAB = ∠CAI = 90 °, по конструкция.

4. ∠BAI = ∠BAC + ∠CAI = ∠BAC + ∠EAB = ∠EAC, с 3.

5. AC = AI и AB = AE, по конструкция.

6. Следователно, ΔBAI ≅ ΔEAC, от теоремата на страничния ъгъл (виж Sidebar: Мостът на ослите), както е подчертано в част (а) на фигурата.

7. Начертайте CF успоредно на BD.

8. Правоъгълник AGFE = 2ΔACE. Този забележителен резултат произтича от две предварителни теореми: а) площите на всички триъгълници на една и съща основа, чиято трета върха лежи навсякъде на неопределено удължена линия, успоредна на основата, са равни; и (б) площта на триъгълник е половината от всяка паралелограма (включително всеки правоъгълник) със същата основа и височина.

9. Квадрат AIHC = 2ΔBAI, по същата теорема за паралелограм, както в стъпка 8.

10. Следователно, правоъгълник AGFE = квадрат AIHC, чрез стъпки 6, 8 и 9.

11. ∠DBC = ∠ABJ, както в стъпки 3 и 4.

12. BC = BJ и BD = AB, като се изгражда както в стъпка 5.

13. ΔCBD ≅ ΔJBA, както е в стъпка 6 и е подчертано в част (b) от фигурата.

14. Правоъгълник BDFG = 2ΔCBD, както в стъпка 8.

15. Квадрат CKJB = 2ΔJBA, както в стъпка 9.

16. Следователно, правоъгълник BDFG = квадрат CKJB, както в стъпка 10.

17. Квадрат ABDE = правоъгълник AGFE + правоъгълник BDFG, по конструкция.

18. Следователно, квадрат ABDE = квадрат AIHC + квадрат CKJB, чрез стъпки 10 и 16.

    Първата книга на Евклидовите елементи започва с определянето на точка и завършва с питагорейската теорема и обратното й (ако сумата от квадратите от двете страни на триъгълник е равна на квадрата от третата страна, тя трябва да е десен триъгълник), Това пътуване от конкретно определение до абстрактно и универсално математическо изявление е взето като емблематично за развитието на цивилизования живот. Ярък пример за идентифициране на разсъжденията на Евклид с най-високия израз на мисълта е предложението, направено през 1821 г. от немски физик и астроном, за да се открие разговор с жителите на Марс, като им се покажат претенциите ни за интелектуална зрялост. Всичко, което трябваше да направим, за да привлечем техния интерес и апробация, твърди се, беше да изораваме и засаждаме големи полета във формата на диаграмата на вятърните мелници или, както други предложиха, да копаем канали, подсказващи за теорията на Питагорей в Сибир или Сахара, напълнете ги с масло, подпалете ги и изчакайте отговор. Експериментът не е изпробван, оставяйки неопределен дали жителите на Марс нямат телескоп, няма геометрия или не съществуват.