Математика на Бессел

Функция на Бессел, наричана още Цилиндрова функция, която и да е от набор от математически функции, систематично извлечени около 1817 г. от германския астроном Фридрих Вилхелм Бесел по време на разследване на решения на едно от уравненията на Кеплер на планетарното движение. Конкретни функции на комплекта бяха формулирани по-рано от швейцарските математици Даниел Бернули, който изучаваше колебанията на верига, окачена на единия край, и Леонхард Ойлер, който анализираше вибрациите на опъната мембрана.

След като Бесел публикува своите открития, други учени откриват, че функциите се появяват в математическите описания на много физически явления, включително потока на топлина или електричество в твърд цилиндър, разпространението на електромагнитни вълни по проводниците, дифракцията на светлината, движенията на течностите и деформациите на еластичните тела. Един от тези изследователи, лорд Рейли, също поставя функциите на Бесел в по-широк контекст, като показва, че те възникват в решението на уравнението на Лаплас (qv), когато последното е формулирано в цилиндрични (а не декартови или сферични) координати.

По-конкретно, функция на Бессел е решение на диференциалното уравнение

което се нарича уравнение на Бесел. За интегрални стойности на n са функциите на Bessel

Графиката на J ₀ (x) изглежда като тази на амортизирана косинусова крива, а тази на J ₁ (x) изглежда като на амортизирана синусова крива (виж Графика).

Някои физически проблеми водят до диференциални уравнения, аналогични на уравнението на Бесел; техните решения са под формата на комбинации от функции на Бессел и се наричат ​​функции на Bessel от втори или трети вид.