Евклидова геометрия
Ако вземем предвид евклидовата геометрия, ясно различаваме, че тя се отнася до законите, регулиращи позициите на твърди тела. Оказва се да се вземе предвид гениалната мисъл за проследяване на всички отношения, отнасящи се до телата и техните относителни положения, до много простата концепция „разстояние“ (Strecke). Разстояние означава твърдо тяло, върху което са посочени две материални точки (маркировки). Концепцията за равенството на разстоянията (и ъглите) се отнася до експерименти, включващи съвпадения; същите забележки се отнасят и за теоремите за конгруденцията. Сега евклидовата геометрия, във вида, в който ни е предадена от Евклид, използва основните понятия "права линия" и "равнина", които изглежда не съответстват или в никакъв случай, не толкова директно, с преживяванията относно положението на твърди тела. В това отношение трябва да се отбележи, че концепцията за правата линия може да бъде сведена до тази на разстоянието.1 Освен това геометриците са били по-малко заети с извеждането на връзката на основните си понятия с опита, отколкото с логическото извличане на геометричните предложения от няколко аксиоми, изречени в самото начало.
Нека да очертаем накратко как може би основата на евклидовата геометрия може да бъде получена от концепцията за разстояние.
Започваме от равенството на разстоянията (аксиома на равенството на разстоянията). Да предположим, че на две неравномерни разстояния едното винаги е по-голямо от другото. Същите аксиоми се отнасят за неравенството на разстоянията, както при неравенството на числата.
Три разстояния AB 1, BC 1, CA 1 могат, ако CA 1 е подходящо избран, имат своите знаци BB 1, CC 1, AA 1, разположени един върху друг, така че да се получи триъгълник ABC. Разстоянието CA 1 има горна граница, за която тази конструкция все още е възможна. Точките A, (BB ') и C лежат в "права линия" (дефиниция). Това води до понятията: произвеждане на разстояние от сума, равна на себе си; разделяне на разстояние на равни части; изразяване на разстояние по отношение на число с помощта на измервателен прът (определение на интервала между две точки).
Когато понятието за интервала между две точки или дължината на разстояние е спечелено по този начин, ние изискваме само следната аксиома (теорема на Питагор), за да достигнем аналитично до Евклидова геометрия.
Към всяка точка на пространството (ориентир) могат да се присвоят три числа (координати) x, y, z - и обратно - по такъв начин, че за всяка двойка точки A (x 1, y 1, z 1) и B (x 2, y 2, z 2) теоремата съдържа:
мярка-номер AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Всички по-нататъшни концепции и предложения на евклидовата геометрия могат след това да бъдат изградени чисто логично на тази основа, по-специално също и предложенията за правите и равнината.
Тези забележки, разбира се, не са предназначени да заменят строго аксиоматичната конструкция на евклидовата геометрия. Ние просто искаме да посочим правдоподобно как всички концепции на геометрията могат да бъдат проследени до тази на разстоянието. Можем също толкова добре да представим цялата основа на евклидовата геометрия в последната теорема по-горе. Връзката с основите на опита след това ще бъде предоставена чрез допълнителна теорема.
Координатата може и трябва да бъде избрана така, че две двойки точки, разделени на равни интервали, изчислени с помощта на теоремата на Питагор, да бъдат направени така, че да съвпадат с едно и също подходящо избрано разстояние (върху твърдо вещество).
Концепциите и предложенията на евклидовата геометрия могат да бъдат извлечени от предложението на Питагор без въвеждането на твърди тела; но тези понятия и предложения не биха имали съдържание, което би могло да бъде тествано. Те не са „истински“ предложения, а само логически правилни предложения с чисто формално съдържание.
