Хипотеза на Риман, в теорията на числата, хипотеза на германския математик Бернхард Риман относно местоположението на решенията на зета функцията на Риман, която е свързана с теоремата за прости числа и има важно значение за разпределението на прости числа. Риман включва хипотезата в статия „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ („За броя на основните числа по-малко от дадено количество“), публикувана в изданието на Monatsberichte der Berliner Akademie от ноември 1859 г. („Месечен преглед“ на Берлинската академия ”).
Zeta функцията се дефинира като безкрайния ред ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, или, в по-компактна нотация, , където сумирането (Σ) на термини за n протича от 1 до безкрайност през положителните цели числа, а s е фиксирано положително цяло, по-голямо от 1. Зета функцията е проучена за първи път от швейцарския математик Леонхард Ойлер през 18 век. (По тази причина понякога се нарича zeta функция на Ойлер. За ζ (1) тази серия е просто хармонична поредица, известна още от древността да се увеличава без обвързване - т.е. нейната сума е безкрайна.) Ойлер постигна мигновена слава, когато той се оказа, че през 1735 ζ (2) = π 2 /6 проблем, който е убягвало най-големите математици на епохата, в това число на семейството Swiss Бернули (Якоб, Йохан, и Даниел). В по-общ план Ойлер откри (1739 г.) връзка между стойността на zeta функцията за четни числа и числата на Бернули, които са коефициентите при разширяването на серията на Тейлор на x / (e x - 1). (Вижте също експоненциалната функция.) Още по-удивително е, че през 1737 г. Ойлер открива формула, свързана с Zeta функцията, която включва сумиране на безкрайна последователност от термини, съдържащи положителните цели числа, и безкраен продукт, който включва всяко основно число:
Риман разшири изследването на Zeta функцията, за да включи сложните числа x + iy, където i = квадратен корен от − 1, с изключение на линията x = 1 в сложната равнина. Риман знаеше, че Zeta функцията е равна на нула за всички отрицателни дори и цели числа −2, −4, −6,
(т. нар. тривиални нули) и че тя има безкраен брой нули в критичната ивица от сложни числа, които попадат строго между редовете х = 0 и х = 1. Той също знаеше, че всички нетривиални нули са симетрични по отношение на критична линия х = 1 / 2. Риман предположи, че всички нетривиални нули са на критичната линия, предположение, което впоследствие стана известно като хипотеза на Риман.
През 1914 английски математик Godfrey Harold Hardy доказано, че безкраен брой на разтвори на ζ (и) = 0 съществува в критичната линия х = 1 / 2. Впоследствие от различни математици беше показано, че голяма част от решенията трябва да лежат на критичната линия, въпреки че честите „доказателства“, че всички нетривиални решения са върху нея, са били дефектирани. Компютрите също са били използвани за тестване на решения, като първите 10 трилиона нетривиални решения са показани на критичната линия.
Доказателството за хипотезата на Риман би имало далечни последици за теорията на числата и за използването на прайдове в криптографията.
Хипотезата на Риман отдавна се смята за най-големия нерешен проблем в математиката. Това беше един от 10 нерешени математически проблема (23 в печатния адрес), представени като предизвикателство за математиците от 20 век от немския математик Дейвид Хилбърт на Втория международен конгрес по математика в Париж на 8 август 1900 г. През 2000 г. американският математик Стивън Smale актуализира идеята на Хилберт със списък на важните проблеми за 21 век; хипотезата на Риман беше номер едно. През 2000 г. той е определен за хилядолетен проблем, един от седемте математически проблема, избрани от Института по математика на глината в Кеймбридж, Масачузетс, САЩ, за специална награда. Решението на всеки хилядолетен проблем е на стойност 1 милион долара. През 2008 г. Агенцията за напреднали научноизследователски проекти в отбраната на САЩ (DARPA) я посочи като една от математическите предизвикателства на DARPA, 23 математически проблема, за които тя предлагаше изследователски предложения за финансиране - „Mathematical Challenge Nineteen: Setter the Riemann Hypothesis. Теорията за светия граал на числата."
