За Евдокс от Книдус (ок. 400–350 г. пр. Н. Е.) Отива честта да бъде първият, който показа, че площта на окръжност е пропорционална на квадрата на нейния радиус. В днешната алгебраична нотация тази пропорционалност се изразява чрез познатата формула A = πr 2. И все пак константата на пропорционалност, π, въпреки познаването й, е изключително загадъчна и стремежът да я разберем и намериш точната й стойност е заемал математиците от хиляди години. Един век след Eudoxus, Архимед открил първото добро сближаване на π: 3 10 / 71, <π <3 1 / 7, Той постигна това чрез приближаване на кръг с 96-страничен многоъгълник (виж анимацията). Още по-добри приближения бяха открити чрез използване на многоъгълници с повече страни, но те само послужиха за задълбочаване на мистерията, тъй като не може да се достигне точна стойност и не може да се наблюдава образец в последователността на приближенията.
А зашеметяване разтвор на тайната е открит от индийски математиците около 1500 вд: π може да бъде представен чрез безкрайна, но удивително прост, серия π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯.Те открит това като специален случай на поредицата за обратната функция допирателна: тен -1 (х) = х - х 3 / 3 + х 5 / 5 - х 7 / 7 + ⋯.
Отделните откриватели на тези резултати не са известни със сигурност; някои учени ги кредитират за Нилаканта Сомаяджи, други - за Мадхава. Индийските доказателства са структурно подобни на доказателствата, открити по-късно в Европа от Джеймс Грегъри, Готфрид Вилхелм Лайбниц и Якоб Бернули. Основната разлика е, че когато европейците имаха предимството на основната теорема за смятане, индийците трябваше да намерят граници на сумите на формата
Преди преоткриването на Грегъри на обратната допирателна серия около 1670 г. в Европа са открити други формули за π. В 1655 John Wallis открива безкраен продукт π / 4 = 2 / 3 ∙ 4 / 3 ∙ 4 / 5 ∙ 6 / 5 ∙ 6 / 7 ⋯ и колега Уилям Brouncker трансформира това в безкраен продължение фракция
Накрая, в Въведение Леонард Ойлер за анализ на безкрайното (1748), серията π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯ се трансформира в продължение фракция Brouncker е, което показва, че трите формули са в някои смисъл същото.
Безкрайният продължителен дял на Брункер е особено важен, защото предполага, че π не е обикновена фракция - с други думи, че π е ирационален. Точно тази идея е използвана в първото доказателство, че π е ирационален, даден от Йохан Ламберт през 1767г.
