Логаритъм, показателят или мощността, на която трябва да се повдигне база, за да се получи дадено число. Изразено математически, x е логаритъмът на n към основата b, ако b x = n, в този случай човек пише x = log b n. Например 2 3 = 8; следователно 3 е логаритъмът от 8 до основа 2, или 3 = лог 2 8. По същия начин, тъй като 10 2 = 100, тогава 2 = log 10 100. Логаритми от последния вид (тоест логаритми с основа 10) се наричат общи или бригски логаритми и се пишат просто log n.
Измислени през 17 век за ускоряване на изчисленията, логаритмите значително намаляват времето, необходимо за умножаване на числата с много цифри. Те бяха основни в числената работа повече от 300 години, докато усъвършенстването на механичните изчислителни машини в края на 19 век и компютрите през 20 век не ги направи остарели за мащабни изчисления. Естественият логаритъм (с база e ≅ 2.71828 и написан ln n) обаче продължава да бъде една от най-полезните функции в математиката, с приложения към математически модели във всички физически и биологични науки.
Свойства на логаритмите
Логаритмите бяха бързо възприети от учените поради различни полезни свойства, които опростяваха дългите и досадни изчисления. По-специално учените биха могли да намерят произведението от две числа m и n, като потърсят логаритъма на всяко число в специална таблица, добавят логаритмите заедно и след това отново консултират таблицата, за да намерят числото с този изчислен логаритъм (известен като неговия антилогаритъм), Изразена по отношение на общи логаритми, тази връзка се дава от log mn = log m + log n. Например 100 × 1000 може да се изчисли, като се потърсят логаритмите на 100 (2) и 1000 (3), като се добавят логаритмите заедно (5) и след това се намери неговият антилогиарит (100 000) в таблицата. По подобен начин проблемите с деленето се преобразуват в проблеми с изваждането с логаритми: log m / n = log m - log n. Това не е всичко; изчисляването на силите и корените може да се опрости с използването на логаритми. Логаритмите също могат да бъдат преобразувани между всяка положителна основа (с изключение на това, че 1 не може да се използва като основа, тъй като всички нейни сили са равни на 1), както е показано в
таблица на логаритмичните закони.
В логаритмите обикновено са включени само логаритми за числа между 0 и 10. За да се получи логаритъмът на някакво число извън този диапазон, числото първо е написано в научна нотация като произведение на неговите значими цифри и експоненциалната му сила - например 358 ще бъде записано като 3,58 × 10 2, а 0,0046 ще бъде написано като 4,6 × 10 −3. Тогава логаритъмът на значимите цифри - десетична дроб между 0 и 1, известен като мантиса - ще бъде намерен в таблица. Например, за да намерите логаритъма от 358, човек ще погледне лог 3,58 ≅ 0,55388. Следователно, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,555388. В примера за число с отрицателен показател, като 0,0046, човек би потърсил лог 4.6 ≅ 0.66276. Следователно, log 0,0046 = log 4.6 + log 0,001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.
