Формална логика

Семантична таблица

От 80-те години друга техника за определяне на валидността на аргументите в PC или LPC придоби известна популярност, както поради лекотата си на обучение, така и от директното им прилагане от компютърни програми. Първоначално предложен от холандския логик Еверт У. Бет, той е по-цялостно разработен и популяризиран от американския математик и логик Реймънд М. Смулян. Опирайки се на наблюдението, че е невъзможно помещенията на валиден аргумент да бъдат верни, докато заключението е невярно, този метод се опитва да интерпретира (или оценява) помещенията по такъв начин, че всички те да са едновременно удовлетворени и отрицанието на заключението също е удовлетворено. Успехът в подобно усилие би показал аргумента за невалиден, докато неуспехът да намери такова тълкуване би показал, че е валиден.

Изграждането на семантична таблица протича по следния начин: изразяваме предпоставките и отрицанието на заключението на аргумент в PC, използвайки само отрицание (∼) и дизюнкция (∨) като предложни съединители. Елиминирайте всяка поява на два отрицателни знака в последователност (напр. Becomesa става ∼a). Сега изградете диаграма на дърво, разклоняваща се надолу, така че всяко разделяне да бъде заменено от два клона, един за левия дизъюнт и един за дясната. Оригиналното дизъюнкция е вярно, ако е верен и единият клон. Позоваването на законите на Де Морган показва, че отрицанието на дизъюнцията е вярно само в случай, че отрицанията и на двата дизъюнта са верни [т.е. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Това семантично наблюдение води до правилото, че отрицанието на дизъюнкцията става един клон, съдържащ отрицанието на всеки дизъюнкция:

Обмислете следния аргумент:

Напиши:

Сега зачеркнете дизъюнцията и оформете два клона:

Само ако всички изречения в поне един клон са верни, е възможно оригиналните предпоставки да са верни, а заключението невярно (еквивалентно за отрицанието на заключението). Проследявайки линията нагоре във всеки клон до върха на дървото, се забелязва, че никакво оценяване на a в левия клон няма да доведе до това, че всички изречения в този клон получат стойността true (поради наличието на a и ∼a), По същия начин, в десния клон присъствието на b и ∼b прави невъзможно оценката да доведе до всички изречения на клона, получаващи стойността истина. Това са всички възможни клонове; по този начин е невъзможно да се намери ситуация, при която помещенията са верни и заключението е невярно. Следователно оригиналният аргумент е валиден.

Тази техника може да се разшири, за да се справи с други съединители:

Освен това в LPC трябва да се въведат правила за установяване на количествено определени wff. Ясно е, че всеки клон, съдържащ и (∀x) ϕx и ∼ϕy, е този, в който не всички изречения в този клон могат да бъдат едновременно удовлетворени (при предположението за ω-последователност; вижте металогично). Отново, ако всички клонове не успеят да бъдат едновременно удовлетворими, оригиналният аргумент е валиден.

Специални системи на LPC

LPC, както е изложено по-горе, може да се променя чрез ограничаване или разширяване на обхвата на wffs по различни начини:

• 1. Частични системи на LPC. Тук са очертани някои от по-важните системи, произведени чрез ограничение:

  • a. Може да се наложи всяка променлива предикат да бъде монадична, като все пак позволява безкраен брой индивидуални и предикативни променливи. Тогава атомните wffs са просто тези, състоящи се от предикатна променлива, последвана от една индивидуална променлива. В противен случай правилата за формиране остават както преди, а дефиницията на валидността също е както преди, макар и опростена по очевидни начини. Тази система е известна като монаден LPC; тя осигурява логика на свойствата, но не и на отношенията. Една важна характеристика на тази система е, че тя е решена. (Въвеждането на дори една променлива диадикатна предикатна система обаче би направило системата неразрешима и всъщност дори системата, която съдържа само една диадична предикатна променлива и изобщо няма други предикативни променливи, е показана като неопределима.)

  • bА все още по-опростена система може да бъде формирана чрез изискване (1) всяка предикатна променлива да бъде монадична, (2) да се използва само една индивидуална променлива (например, x), (3) всяко възникване на тази променлива да бъде обвързано, и (4) че в обхвата на който и да е друг не се среща количествен показател. Примери за wff на тази система са (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Каквото и да е ϕ, това е и ψ, и χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Има нещо, което е ϕ, но не ψ“); и (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Ако каквото и да е ϕ е ψ, тогава нещо е едновременно ϕ и ψ“). Обозначенията за тази система могат да бъдат опростени, като пропуснете x навсякъде и напишете ∃ϕ за „Нещо е ϕ“, ϕ (⊃ ⊃ ψ) за „Каквото е, това е“, и така нататък. Въпреки че тази система е по-рудиментарна дори от монадичния LPC (от който е фрагмент), формите на широк спектър от изводи могат да бъдат представени в нея. Тя също е решена система и за нея могат да бъдат дадени процедури за вземане на решения от елементарен вид.

• 2. Разширения на LPC. По-сложни системи, в които може да се изрази по-широк спектър от предложения, са изградени чрез добавяне към LPC нови символи от различни видове. Най-правилните от тези допълнения са:

  • a.Една или повече индивидуални константи (да речем, a, b,

    ): тези константи се интерпретират като имена на конкретни индивиди; формално те се разграничават от отделни променливи по това, че не могат да се появят в рамките на количествените характеристики; например (∀x) е количествен показател, но (∀a) не е.

  • b.Една или повече предикатни константи (да речем A, B,

    ), всяка от определена степен, за която се смята, че обозначава специфични свойства или отношения.

Друго възможно допълнение, което изисква малко по-пълно обяснение, се състои от символи, предназначени да отстояват функциите. Понятието функция може да бъде достатъчно обяснено за настоящите цели, както следва. Твърди се, че има определена функция от n аргументи (или от степен n), когато има правило, което определя уникален обект (наречен стойност на функцията), когато всички аргументи са посочени. Например в областта на човешките същества „майката на -” е монадична функция (функция на един аргумент), тъй като за всеки човек има уникален индивид, който е негова майка; и в областта на естествените числа (т.е. 0, 1, 2,

), "Сумата от - и -" е функция на два аргумента, тъй като за всеки чифт естествени числа има естествено число, което е тяхната сума. Функция символ може да се мисли като образува име от други имена (неговите аргументи); така, винаги, когато x и y номера на имената, „сумата от x и y“ също назовава число и подобно на други видове функции и аргументи.

За да разрешите функциите да се изразяват в LPC, може да се добавят:

• c.Една или повече функционални променливи (да речем, f, g,

  ) или една или повече функционални константи (например, F, G,

  ) или и двете, всяка от определена степен. Първите се интерпретират като обхват на функциите на посочените степени, а вторите като обозначаване на специфични функции от тази степен.

Когато някой или всички a-c се добавят към LPC, правилата за образуване, изброени в първия параграф на раздела за долното предикатно смятане (вижте по-горе Изчислението на долните предикати), трябва да бъдат модифицирани, за да могат новите символи да бъдат включени в wffs. Това може да се извърши по следния начин: Първоначално терминът се дефинира като (1) индивидуална променлива или (2) индивидуална константа или (3) всяко изражение, образувано чрез префиксиране на функционална променлива или функционална константа на степен n към произволни n термини (тези термини - аргументите на символа на функцията - обикновено са разделени със запетаи и затворени в скоби). След това правилото за формиране 1 се заменя с:

• 1 '. Изразът, състоящ се от предикатна променлива или предикатна константа на степен n, последван от n термини, е wff.

Аксиоматичната основа, дадена в раздела за аксиоматизацията на LPC (виж по-горе Аксиоматизация на LPC), също изисква следната промяна: в аксиома схема 2 е разрешено да се замени всеки термин, когато β се формира, при условие че няма променлива, която е свободна в терминът се обвързва в β. Следващите примери ще илюстрират използването на гореспоменатите допълнения към LPC: нека стойностите на отделните променливи са естествените числа; оставете отделните константи a и b да означават съответно числата 2 и 3; нека средното „е първостепенно“; и нека F представлява диадичната функция „сумата от.“ Тогава AF (a, b) изразява предложението "Сумата от 2 и 3 е проста", а (∃x) AF (x, a) изразява предложението "Съществува число такова, че сумата от него и 2 е просто."

Въвеждането на константи обикновено се придружава от добавяне към аксиоматичната основа на специални аксиоми, съдържащи тези константи, предназначени да изразят принципи, които държат на представените от тях обекти, свойства, отношения или функции - макар и да не притежават обекти, свойства, отношения или функции като цяло. Може да се вземе решение например да се използва константата A, за да се представи диадичното отношение „е по-голямо от“ (така че Axy означава „x е по-голямо от y“ и така нататък). Тази връзка, за разлика от много други, е транзитивна; т.е., ако един обект е по-голям от втори и този втори от своя страна е по-голям от трети, тогава първият е по-голям от третия. Следователно може да се добави следната специална схема на аксиома: ако t ₁, t ₂ и t ₃ са някакви термини, тогава (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ При ₁ t ₃ е аксиома. По този начин могат да бъдат изградени системи за изразяване на логическите структури на различни конкретни дисциплини. Областта, в която е извършена повечето подобни работи, е тази на аритметика с естествено число.

PC и LPC понякога се комбинират в една система. Това може да се направи най-просто като се добавят предложения на променливи към списъка на LPC примитивите, добавя се правило за образуване, което прави ефекта, че предложената променлива самостоятелно е wff, и изтриване на „LPC“ в аксиома схема 1. Това води до wffs такива изрази като (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx и (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-с-идентичност. Думата "е" не винаги се използва по един и същи начин. В предложение като (1) „Сократ е закопчан“, изразът, предхождащ „е“, назовава индивид, а изразът, следващ него, означава свойство, приписано на този индивид. Но в предложение от рода на (2) „Сократ е атинският философ, който е пил бастун“, изразите, предхождащи и следващи „е“, и двете имена индивиди, и смисълът на цялото предложение е, че личността, назована от първата, е същият индивид като индивида, наречен от втория. По този начин в 2 „е“ може да се разшири до „е същият индивид като“, докато в 1 не може. Както е използвано в 2, "е" означава диадична връзка, а именно идентичност, която твърди, че предложението се поддържа между двете индивиди. Предложението за идентичност трябва да се разбира в този контекст като отстояване не повече от това; по-специално, не бива да се приема, че двата именни израза имат едно и също значение. Много обсъждан пример за илюстриране на последната точка е „Утринната звезда е вечерната звезда.“ Грешно е, че изразите „утринната звезда“ и „вечерната звезда“ означават едно и също, но е вярно, че обектът, посочен от първия, е същият като този, посочен от втората (планетата Венера).

За да се даде възможност за изразяване на формите на предложения за идентичност, към LPC се добавя диадична предикатна константа, за която най-обичайната нотация е = (написана между, а не преди, нейните аргументи). Предназначената интерпретация на x = y е, че x е същият индивид като y, а най-удобното четене е „x е идентично с y“. Неговото отрицание ∼ (x = y) обикновено се съкращава като x ≠ y. Към дефиницията на модел на LPC, дадена по-рано (виж по-горе Валидност в LPC), сега е добавено правилото (което по очевиден начин съответства на предвидената интерпретация), че стойността на x = y трябва да бъде 1, ако същият член на D се присвоява както на x, така и на y и че в противен случай стойността му трябва да бъде 0; валидността може след това да бъде определена както преди. Следните допълнения (или някои еквивалентни) се правят на аксиоматичната основа за LPC: аксиома x = x и схема на аксиомата, където където a и b са всякакви променливи, а α и β са wffs, които се различават само по това, че едно или повече места, където α има свободно възникване на a, β има свободно възникване на b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) е аксиома. Подобна система е известна като по-ниска предикат-смятане-с идентичност; може, разбира се, да бъде допълнително допълнено по другите начини, посочени по-горе в „Разширения на LPC“, като в този случай всеки термин може да бъде аргумент на =.

Идентичността е отношение на еквивалентност; това е рефлексивно, симетрично и транзитивно. Неговата рефлексивност се изразява пряко в аксиомата x = x, а теоремите, изразяващи нейната симетрия и транзитивност, могат лесно да се извлекат от дадената основа.

Някои wffs на LPC с идентичност изразяват предложения за броя неща, които притежават даден имот. „Поне едно нещо е ϕ“, разбира се, може да се изрази с (∃x) ϕx; „Поне две различни (недицентични) неща са ϕ“ вече могат да бъдат изразени с (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); и последователността може да бъде продължена по очевиден начин. „Най-много едно нещо е ϕ“ (т.е. „Няма две различни неща и двете“) може да се изрази с отрицанието на последно споменатия wff или от неговия еквивалент, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] и последователността отново може лесно да бъде продължена. Формула за „Точно едно нещо е ϕ“ може да се получи чрез съединяване на формулите за „Най-малко едно нещо е ϕ и„ Най-много едно нещо е ϕ “, но по-опростен wff еквивалент на тази връзка е (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], което означава „Има нещо, което е and, и всичко, което е ϕ, е това нещо.“ Предложението „Точно две неща са ϕ“ може да бъде представено от (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; т.е. „Има две нецензурни неща, всяко от които е ϕ, и всичко, което е ϕ, е едно или друго от тях.“ Ясно е, че тази последователност може също да бъде разширена, за да даде формула за „Точно n неща са ϕ“ за всяко естествено число n. Удобно е да се съкрати wff за „Точно едно нещо е ϕ“ до (∃! X) ϕx. Този специален количествен показател често се чете на глас като „E-Shriek x“.

Определени описания

Когато определено свойство ϕ принадлежи на един и само един обект, е удобно да има израз, който именува този обект. Често срещано понятие за тази цел е (ιx) ϕx, което може да се чете като „нещото, което е“ или по-накратко като „the“. Като цяло, когато a е всяка индивидуална променлива и α е всяка wff, (ιa) α тогава означава единичната стойност на a, която прави α истина. Изразът на формата „така и така” се нарича определено описание; и (ιx), известен като оператор на описание, може да се мисли като образуване на име на индивид от форма на предложение. (ιx) е аналог на количествения елемент в това, че когато има префикс към wff α, той свързва всяко свободно появяване на x в α. Предаването на свързани променливи също е допустимо; в най-простия случай (ιx) ϕx и (ιy) ϕy всеки може да се чете просто като „ϕ“.

Що се отнася до правилата за образуване, определените описания могат да бъдат включени в LPC, като оставим изразите от формата (ιa) α да се считат за термини; правило 1 'по-горе, в "Разширения на LPC", ще им позволи да възникнат в атомни формули (включително формули за идентичност). „Φ е (т.е. има свойството) ψ“ може след това да се изрази като ψ (ιx) ϕx; „Y е (същият индивид като) ϕ“ като y = (ιx) ϕx; „Φ е (същият индивид като) ψ“ като (ιx) ϕx = (ιy) ψy; и т.н.

Правилният анализ на предложенията, съдържащи категорични описания, беше обект на значителна философска полемика. Един широко приет акаунт обаче - по същество този, представен в Principia Mathematica и известен като теория на описанията на Ръсел - твърди, че „ϕ е ψ“ трябва да се разбира като означава, че точно едно нещо е ϕ и това нещо също е ψ. В този случай тя може да бъде изразена с wff от LPC с идентичност, която не съдържа оператори за описание, а именно (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Аналогично, „y е ϕ“ се анализира като „y е ϕ и нищо друго не е ϕ“ и следователно е изразимо чрез (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ е ψ“ се анализира като „Точно едно нещо е ϕ, точно едно нещо е ψ и каквото и да е ϕ е ψ“ и следователно е изразимо чрез (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx и (ιx) ϕx = (ιy) ψy може след това да се разглежда като съкращения за (1), (2) и (3); и чрез обобщаване на по-сложни случаи всички WFF, които съдържат оператори на описание, могат да се разглеждат като съкращения за по-дълги wffs, които не го правят.

Анализът, който води до (1) като формула за „ϕ е ψ“ води до следното за „ϕ не е ψ“: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Важно е да се отбележи, че (4) не е отрицание на (1); вместо това това отрицание е (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Разликата в значението между (4) и (5) се състои във факта, че (4) е вярно само когато има точно едно нещо, което е ϕ и това нещо не е ψ, но (5) е вярно както в този случай, така и също когато изобщо нищо не е и когато повече от едно нещо е ϕ. Пренебрегването на разграничението между (4) и (5) може да доведе до сериозно объркване на мислите; в обикновената реч често не е ясно дали някой, който отрича, че ϕ е ψ, признава, че точно това е ϕ, но отрича, че е ψ, или отрича, че точно едно е ϕ.

Основното твърдение на теорията на описанията на Ръсел е, че предложение, съдържащо определено описание, не трябва да се разглежда като твърдение за обект, чието описание е име, а по-скоро като екзистенциално количествено потвърдено твърдение, че определено (доста сложно) свойство има инстанция. Формално това се отразява в правилата за премахване на операторите на описания, които бяха описани по-горе.