Диференциално уравнение

Диференциално уравнение, математическо изявление, съдържащо една или повече производни - тоест термини, представляващи скоростта на промяна на непрекъснато вариращи количества. Диференциалните уравнения са много често срещани в науката и инженерството, както и в много други области на количественото изследване, тъй като това, което може да бъде пряко наблюдавано и измерено за системите, подложени на промени, са техните скорости на промяна. Решението на диференциално уравнение по принцип е уравнение, изразяващо функционалната зависимост на една променлива от една или повече други; обикновено съдържа постоянни термини, които не присъстват в първоначалното диференциално уравнение. Друг начин да се каже това е, че решението на диференциално уравнение произвежда функция, която може да се използва за прогнозиране на поведението на оригиналната система, поне в рамките на определени ограничения.

анализ: Нютон и диференциални уравнения

прилагането на анализа са диференциални уравнения, които свързват скоростите на промяна на различни количества с техните текущи стойности,

Диференциалните уравнения се класифицират в няколко широки категории и те от своя страна допълнително се разделят на много подкатегории. Най-важните категории са обикновените диференциални уравнения и частичните диференциални уравнения. Когато функцията, участваща в уравнението, зависи само от една променлива, нейните производни са обикновени производни и диференциалното уравнение се класифицира като обикновено диференциално уравнение. От друга страна, ако функцията зависи от няколко независими променливи, така че нейните производни са частични производни, диференциалното уравнение се класифицира като частично диференциално уравнение. Следват примери за обикновени диференциални уравнения:

В тях y означава функцията и t или x е независимата променлива. Символите k и m се използват тук, за да означават конкретни константи.

Който и да е типът, за диференциално уравнение се казва, че е от n-ия ред, ако включва производно от n-ти ред, но не производно на ред, по-висок от този. Уравнението е пример за частично диференциално уравнение от втори ред. Теориите на обикновените и частичните диференциални уравнения са значително различни и поради тази причина двете категории се третират отделно.

Вместо едно диференциално уравнение обектът на изследване може да бъде едновременна система от такива уравнения. Формулирането на законите на динамиката често води до такива системи. В много случаи едно диференциално уравнение от n-ти ред е за предпочитане заменяемо от система от n едновременни уравнения, всяко от които е от първи ред, така че да могат да се прилагат техники от линейна алгебра.

Обикновено диференциално уравнение, в което, например, функцията и независимата променлива са обозначени с y и x, всъщност е неявно обобщение на съществените характеристики на y като функция на x. Тези характеристики вероятно биха били по-достъпни за анализ, ако би могла да се представи изрична формула за y. Такава формула или поне уравнение в x и y (без производни), която може да се изведе от диференциалното уравнение, се нарича решение на диференциалното уравнение. Процесът на извеждане на решение от уравнението чрез приложенията на алгебра и смятане се нарича решаване или интегриране на уравнението. Трябва да се отбележи обаче, че диференциалните уравнения, които могат да бъдат изрично решени, формират, но малко малцинство. По този начин повечето функции трябва да се изучават по косвени методи. Дори неговото съществуване трябва да бъде доказано, когато няма възможност да се представи за проверка. На практика се използват методи от числен анализ, включващи компютри, за да се получат полезни приблизителни решения.