Von Neumann – Morgenstern полезна функция, разширение на теорията за потребителските предпочитания, която включва теория на поведението към разликата в риска. Той е представен от Джон фон Нойман и Оскар Моргенстерн в „Теория на игрите и икономическото поведение“ (1944 г.) и произтича от очакваната хипотеза за полезност. Това показва, че когато потребителят е изправен пред избор на артикули или резултати, подложени на различни нива на шанс, оптималното решение ще бъде това, което максимизира очакваната стойност на полезността (т.е. удовлетвореността), получена от направения избор. Очаквана стойност е сумата от продуктите на различните комунални услуги и свързаните с тях вероятности. Очаква се потребителят да може да класира артикулите или резултатите по отношение на предпочитанията си, но очакваната стойност ще се обуславя от тяхната вероятност за възникване.
Функцията полезност на фон Нойман-Моргенстерн може да се използва за обяснение на поведение, противоположно на риска, неутрално и риск-обичащо. Например, една фирма може за една година да предприеме проект, който има особени вероятности за три възможни изплащания от $ 10, $ 20 или $ 30; тези вероятности са съответно 20 процента, 50 процента и 30 процента. По този начин очакваното изплащане от проекта ще бъде $ 10 (0,2) + $ 20 (0,5) + $ 30 (0,3) = 21 $. На следващата година фирмата може отново да предприеме същия проект, но в този пример съответните вероятности за изплащанията се променят на 25, 40 и 35 процента. Лесно е да се потвърди, че очакваното изплащане все още е $ 21. С други думи, математически погледнато, нищо не се е променило. Вярно е също така, че вероятностите за най-ниските и най-високите изплащания са се увеличили за сметка на средния, което означава, че има повече вариации (или риск), свързани с възможните изплащания. Въпросът, който трябва да се постави пред фирмата е дали тя ще коригира полезността си, получена от проекта, въпреки че проектът има една и съща очаквана стойност от една година до следваща. Ако фирмата цени итерациите на проекта еднакво, се казва, че е неутрална по отношение на риска. Отражението е, че тя еднакво оценява гарантирано изплащане от $ 21 с всеки набор от вероятни изплащания, чиято очаквана стойност също е $ 21.
Ако фирмата предпочита средата на проекта за първата година пред втората, тя поставя по-висока стойност на по-малка променливост в изплащанията. В това отношение, като предпочита по-голяма сигурност, се твърди, че фирмата е против риск. И накрая, ако фирмата действително предпочита увеличаването на променливостта, се казва, че е рискова. В контекста на хазарт, рискът отклонява риска от по-голяма полезност на очакваната стойност на хазарта, отколкото при вземането на самата хазарт. Обратно, любителят на риска предпочита да вземе хазарта, вместо да се примири с изплащане, равно на очакваната стойност на тази хазарт. Следователно последицата от очакваната хипотеза за полезност е, че потребителите и фирмите се стремят да увеличат максимално очакванията за полезността, а не само за паричните стойности. Тъй като полезните функции са субективни, различните фирми и хората могат да подходят към всяко дадено рисковано събитие с доста различни оценки. Например, бордът на директорите на корпорация може да бъде по-обичащ риска от своите акционери и следователно би оценил избора на корпоративни транзакции и инвестиции съвсем различно, дори когато всички парични стойности са известни от всички страни.
Предпочитанията също могат да бъдат повлияни от състоянието на артикула. Има например разлика между нещо притежавано (т.е. със сигурност) и нещо търсено (т.е., предмет на несигурност); по този начин, продавачът може да надцени продаваната стока спрямо потенциалния купувач на артикула. Този ефект на дарение, за първи път отбелязан от Ричард Талер, се предсказва и от теорията на перспективите на Даниел Канеман и Амос Тверски. Той помага да се обясни отвращението към риска в смисъл, че неустойчивостта на риска да загуби $ 1 е по-висока от полезността за спечелване на $ 1. Класически пример за тази отвращение към риска идва от прочутия петербургски парадокс, в който залогът има експоненциално увеличаващ се изплащане - например с 50% шанс да спечелите $ 1, 25% шанс да спечелите $ 2, 12,5% шанс да спечелите $ 4 и т.н. Очакваната стойност на тази хазарт е безкрайно голяма. Може да се очаква обаче, че никой разумен човек няма да плати много голяма сума за привилегията да вземе хазарта. Фактът, че сумата (ако има такава), която човек би платил, очевидно би била много малка спрямо очакваното изплащане показва, че хората отчитат риска и оценяват полезността, получена от приемането или отхвърлянето му. Обичането на риска може да бъде обяснено и от гледна точка на състоянието. Хората могат да бъдат по-склонни да поемат риск, ако не виждат друг начин да подобрят дадена ситуация. Например пациентите, рискуващи живота си с експериментални лекарства, демонстрират избор, при който рискът се възприема като съизмерим с тежестта на техните заболявания.
Функцията на полезността фон Нойман-Моргенстерн добавя измерението на оценката на риска към оценката на стоките, услугите и резултатите. Като такова, максимизирането на полезността е непременно по-субективно, отколкото когато изборът е обект на сигурност.
