Зетана функция на Риман, функция, полезна в теорията на числата за изследване на свойствата на прости числа. Написана като ζ (x), първоначално е била дефинирана като безкрайната серияζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Когато x = 1, тази серия се нарича хармонична серия, която се увеличава без обвързване - т.е. нейната сума е безкрайна. За стойности на x по-големи от 1, серията се сближава до ограничено число, тъй като се добавят последователни термини. Ако х е по-малко от 1, сумата отново е безкрайна. Функцията зета е известна на швейцарския математик Леонхард Ойлер през 1737 г., но за първи път е изучена задълбочено от немския математик Бернхард Риман.
През 1859 г. Риман публикува документ, в който дава изрична формула за броя на прайсите до всяка предварително зададена граница - решително подобрение над приблизителната стойност, дадена от теоремата за простото число. Формулата на Риман обаче зависеше от познаването на стойностите, при които обобщената версия на zeta функцията е равна на нула. (Зета функцията на Риман е дефинирана за всички сложни числа - числата от формата x + iy, където i = квадратен корен от − 1 - с изключение на реда x = 1.) Риман знаеше, че функцията е равна на нула за всички отрицателни дори цели числа −2, −4, −6,
(т. нар. тривиални нули) и че тя има безкраен брой нули в критичната ивица от сложни числа между редовете x = 0 и x = 1, и той също знаеше, че всички нетривиални нули са симетрични по отношение на критичните линия х = 1 / 2. Риман предположи, че всички нетривиални нули са на критичната линия, предположение, което впоследствие стана известно като хипотеза на Риман.
През 1900 г. немският математик Дейвид Хилберт нарече хипотезата на Риман един от най-важните въпроси в цялата математика, както е посочено от включването му в неговия влиятелен списък на 23 нерешени проблеми, с които той предизвика математиците от 20 век. През 1915 г. английският математик Годфри Харди доказва, че на критичната линия се появява безкраен брой нули, а до 1986 г. всички 1 500 000 001 нетривиални нули са показани на критичната линия. Въпреки че хипотезата все още може да се окаже невярна, разследванията на този труден проблем са обогатили разбирането за сложни числа.
