Основи на математиката

Теория на категориите

Абстракция в математиката

Една от последните тенденции в развитието на математиката е постепенният процес на абстракция. Норвежкият математик Нилс Хенрик Абел (1802–29) доказа, че уравненията от пета степен по принцип не могат да бъдат решени от радикали. Френският математик Évariste Galois (1811–32), мотивиран отчасти от работата на Абел, въвежда определени групи пермутации, за да определи необходимите условия за полиномиално уравнение. Тези конкретни групи скоро породиха абстрактни групи, които бяха описани аксиоматично. Тогава се разбра, че за да се проучат групите, е необходимо да се разгледа връзката между различните групи - по-специално на хомоморфизмите, които преброяват една група в друга, запазвайки груповите операции. Така хората започнаха да изучават това, което сега се нарича конкретната категория групи, чиито обекти са групи и чиито стрели са хомоморфизми. Не отне много време конкретни категории да бъдат заменени с абстрактни категории, отново описани аксиоматично.

Важното понятие за категория е въведено от Самюъл Айленберг и Сондърс Мак Лейн в края на Втората световна война. Тези съвременни категории трябва да бъдат разграничени от категориите на Аристотел, които в настоящия контекст са по-добре наречени типове. Категорията има не само обекти, но и стрелки (наричани също морфизми, трансформации или карти) между тях.

Много категории имат набори от обекти, надарени с някаква структура и стрелки, които запазват тази структура. По този начин съществуват категориите множества (с празна структура) и картографиране, групи и групови хомоморфизми, пръстени и хомоморфизми на пръстени, векторни пространства и линейни трансформации, топологични пространства и непрекъснати преобразувания и т.н. На още по-абстрактно ниво съществува дори категорията (малки) категории и функтори, както се наричат ​​морфизмите между категориите, които запазват връзките между обектите и стрелите.

Не всички категории могат да се разглеждат по този конкретен начин. Например, формулите на дедуктивна система могат да се разглеждат като обекти от категория, чиито стрелки f: A → B са приспадания на B от А. Всъщност тази гледна точка е важна в теоретичната компютърна наука, където формулите се мислят за като видове и удръжки като операции.

По-формално категорията се състои от (1) колекция от обекти A, B, C,.,., (2) за всеки подреден чифт обекти в колекцията свързана колекция от трансформации, включително идентичността I _A ∶ A → A, и (3) свързан закон за композиция за всеки подреден тройка обекти от категорията, така че за f ∶ A → B и g ∶ B → C, съставът gf (или g ○ f) е трансформация от A в C - т.е. gf ∶ A → C. Освен това, асоциативният закон и идентичностите се изискват да се държат (където съставите са определени), тоест, з (GF) = (Hg) и е 1 _Б е = F = f1 _A.

В известен смисъл обектите от абстрактна категория нямат прозорци, като монадите на Лайбниц. За да се направи заключението на интериора на обект, трябва само да се разгледат всички стрелки от други обекти към А. Например, в категорията на множествата елементите на набор A могат да бъдат представени със стрелки от типичен едноелемент, зададен в A. по същия начин, в категорията на малките категории, ако един е категорията с един обект и не стрели nonidentity, обектите на категория а, могат да бъдат идентифицирани с functors 1 → A. Освен това, ако 2 е категорията с два обекта и един nonidentity стрелка, стрелите на А могат да бъдат идентифицирани с functors 2 → A.

Изоморфни структури

Стрелката е: A → B се нарича изоморфизъм ако има стрелка г: B → А обратен да е, тоест, така че г ○ е = 1 _А и е ○ г = 1 _B. Това е написано A ≅ B, а A и B се наричат ​​изоморфни, което означава, че те имат по същество една и съща структура и че няма нужда да се прави разлика между тях. Доколкото математическите образувания са обекти на категории, те се дават само до изоморфизъм. Техните традиционни теоретични конструкции, освен че служат на полезна цел за показване на последователност, са наистина без значение.

Например, в обичайната конструкция на пръстена от цели числа, цяло число се определя като клас на еквивалентност на двойки (m, n) на естествени числа, където (m, n) е еквивалентен на (m ', n'), ако и само ако m + n ′ = m ′ + n. Идеята е класът на еквивалентност на (m, n) да се разглежда като m - n. Важното за категорист обаче е, че пръстенът ℤ на цели числа е начален обект в категорията пръстени и хомоморфизми - тоест, че за всеки пръстен ℝ има уникален хомоморфизъм ℤ → ℝ. Погледнато по този начин, ℤ се дава само до изоморфизма. В същия дух трябва да се каже не, че ℤ се съдържа в полето ℚ на рационални числа, а само че хомоморфизмът ℤ → ℚ е едно към едно. По същия начин няма смисъл да се говори за теоретично множественото пресичане на π и корен на квадрат от √-1, ако и двете са изразени като множество от множества от множества (ad infinitum).

От особен интерес за фондацията и другаде са прилежащите функтори (F, G). Това са двойки функтори между две категории ? и ℬ, които се движат в противоположни посоки, така че съответствието едно към едно съществува между множеството стрелки F (A) → B in ℬ и множеството стрелки A → G (B) в ? - тоест, че множествата са изоморфни.