Гръцки математик Диофант

Диофант, по име Диофант Александрийски, (процъфтявал около 250 г.), гръцки математик, известен с работата си в алгебрата.

теория на числата: Диофант

От по-късните гръцки математици особено важен е Диофант Александрийски (процъфтява около 250 г.), автор

Това, което малко се знае за живота на Диофант, е обстоятелствено. От наименованието „Александрия“ изглежда, че той е работил в главния научен център на древногръцкия свят; и тъй като той не се споменава преди IV век, изглежда вероятно той да процъфтява през III век. Аритметична епиграма от Anthologia Graeca от късната античност, предназначена да проследи някои забележителности от живота му (брак на 33, раждане на сина му на 38, смърт на сина му четири години преди собствения му на 84), може да се измисли. Две творби стигнаха до нас под негово име, и двете непълни. Първият е малък фрагмент от многоъгълни числа (числото е многоъгълно, ако същият брой точки може да бъде подреден под формата на редовен многоъгълник). Вторият, голям и изключително влиятелен трактат, върху който се опира цялата древна и съвременна слава на Диофант, е неговата Аритметика. Историческото му значение е двойно: това е първата известна работа, използваща алгебра в модерен стил, и тя вдъхнови възраждането на теорията на числата.

Аритметиката започва с въведение, адресирано до Дионисий - вероятно св. Дионисий Александрийски. След някои общи положения за числата, Диофант обяснява своята символика - той използва символи за неизвестното (съответстващо на нашия х) и неговите сили, положителни или отрицателни, както и за някои аритметични операции - повечето от тези символи са ясно писани съкращения. Това е първото и единствено възникване на алгебраичната символика преди XV век. След като преподава умножение на силите на неизвестното, Диофант обяснява умножението на положителните и отрицателните термини и след това как да намали уравнението до едно само с положителни термини (стандартната форма, предпочитана в древността). С тези предисловия извън пътя, Диофант пристъпва към проблемите. Всъщност Arithmetica е по същество съвкупност от проблеми с решения, около 260 в частта все още съществува.

Във въвеждането се посочва още, че творбата е разделена на 13 книги. Шест от тези книги са били известни в Европа в края на XV век, предадени на гръцки език от византийски учени и номерирани от I до VI; четири други книги са открити през 1968 г. в превод от арабски от 9-ти век от Куша ибн Лука. Обаче на арабски текст липсва математическа символика и изглежда, че се основава на по-късен гръцки коментар - може би този на Ипатия (ок. 370–415 г.) - който разреди изложението на Диофант. Вече знаем, че номерирането на гръцките книги трябва да бъде променено: Аритметика следователно се състои от книги от I до III на гръцки, книги от IV до VII на арабски и, вероятно, книги от VIII до X на гръцки (бившите гръцки книги IV до VI). По-нататъшното преномериране е малко вероятно; е доста сигурно, че византийците са знаели само шестте книги, които са предали, а арабите не повече от Книги от I до VII в коментираната версия.

Проблемите на Книга I не са характерни, тъй като са най-вече прости проблеми, използвани за илюстриране на алгебраичното смятане. Отличителните особености на проблемите на Диофант се появяват в по-късните книги: те са неопределени (имат повече от едно решение), са от втора степен или са сведени до втора степен (най-високата мощност при променливи условия е 2, т.е. х ²) и завършваме с определянето на положителна рационална стойност за неизвестното, което ще направи даден алгебричен израз числов квадрат или понякога куб. (В цялата си книга Диофант използва „числото“, за да се отнася към онези, които сега се наричат ​​положителни, рационални числа; следователно квадратното число е квадратът на някакво положително, рационално число.) Книги II и III също учат общи методи. В три проблема на Книга II е обяснено как да се представят: (1) всяко зададено квадратно число като сума от квадратите на две рационални числа; (2) всяко дадено не-квадратно число, което е сумата от два известни квадрата, като сбор от два други квадрата; и (3) всяко дадено рационално число като разликата на два квадрата. Докато първият и третият проблем са посочени като цяло, предполагаемите знания за едно решение във втория проблем предполагат, че не всяко рационално число е сумата от два квадрата. По-късно Диофант дава условие за цяло число: даденото число не трябва да съдържа първи коефициент от формата 4n + 3, повишена до нечетна мощност, където n е отрицателно цяло число. Подобни примери мотивираха прераждането на теорията на числата. Въпреки че Диофант обикновено е удовлетворен да получи едно решение на даден проблем, той понякога при проблеми споменава, че съществува безкраен брой решения.

В книги IV до VII Диофант разширява основните методи, като посочените по-горе, до проблеми с по-високи степени, които могат да бъдат сведени до биномиално уравнение на първа или втора степен. В предговорите към тези книги се посочва, че тяхната цел е да предоставят на читателя „опит и умения“. Докато това скорошно откритие не увеличава знанията за математиката на Диофант, то променя оценката на неговите педагогически способности. Книги VIII и IX (вероятно гръцките книги IV и V) решават по-трудни проблеми, дори ако основните методи остават същите. Например, един проблем включва декомпозиране на дадено цяло число в сумата от два квадрата, които са произволно близки един до друг. Подобен проблем включва разлагане на дадено цяло число на сумата от три квадрата; в него Диофант изключва невъзможния случай на цели числа от формата 8n + 7 (отново n е отрицателно цяло число). Книга X (вероятно гръцката книга VI) се занимава с правоъгълни триъгълници с рационални страни и подлежи на различни допълнителни условия.

Съдържанието на трите липсващи книги на Аритметиката може да се допусне от увода, където, след като каза, че намаляването на даден проблем трябва „по възможност“ да приключи с биномиално уравнение, Диофант добавя, че „по-късно“ ще разгледа случая на триномиално уравнение - обещание, което не е изпълнено в съществуващата част.

Въпреки че разполага с ограничени алгебрични инструменти, Диофант успява да разреши голямо разнообразие от проблеми и Аритметиката вдъхновява арабски математици като Ал-Караджи (ок. 980–1030) да прилагат своите методи. Най-известното продължение на работата на Диофант е от Пиер дьо Фермат (1601–65), основателят на съвременната теория на числата. В краищата на своето копие от „Аритметика“ Фермат пише различни забележки, предлагайки нови решения, корекции и обобщения на методите на Диофант, както и някои предположения като последната теорема на Фермат, която заема математиците за следващите поколения. Неопределените уравнения, ограничени до интегрални решения, станаха известни, макар и неподходящо, като уравнения на Диофантин.