Хипотеза на континуума, твърдение на теорията на множествата, че множеството от реални числа (континуумът) е в някакъв смисъл толкова малък, колкото може да бъде. През 1873 г. немският математик Георг Кантор доказва, че континуумът е неизчислим - тоест реалните числа са по-голяма безкрайност от преброяващите числа - ключов резултат за започване на теорията на множествата като математически предмет. Освен това Cantor разработи начин за класифициране на размера на безкрайните множества според броя на неговите елементи или неговата кардиналност. (Вижте теорията на множествата: Кардиналност и трансфинитни числа.) В тези термини хипотезата за континуума може да бъде изложена по следния начин: Кардиналността на континуума е най-малкото неизчислимо кардинално число.
теория на множествата: Кардиналност и безкрайни числа
хипотеза, известна като хипотеза на континуума.
В нотация на Кантор континуумната хипотеза може да бъде заявена от простото уравнение 2 ℵ 0 = ℵ 1, където ℵ 0 е кардиналното число на безкрайно число, което може да се изчисли (като множеството естествени числа), и кардиналните числа на по-големи „ добре подредени комплекти “са ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, индексирани с порядковите числа. Кардиналността на континуума може да бъде показана равна на 2 ℵ 0; по този начин хипотезата за континуума изключва съществуването на набор от междинни размери между естествените числа и континуума.
По-силно твърдение е обобщената хипотеза за континуум (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 за всяко порядъчно число α. Полският математик Wacław Sierpiński доказа, че с GCH може да се изведе аксиомата на избор.
Както при аксиомата на избор, американският математик, роден в Австрия, Курт Гьодел доказа през 1939 г., че ако другите стандартни аксиоми на Zermelo-Fraenkel (ZF; вижте
таблица) са последователни, тогава те не опровергават хипотезата на континуума или дори GCH. Тоест резултатът от добавянето на GCH към останалите аксиоми остава постоянен. Тогава през 1963 г. американският математик Пол Коен допълва картината, като отново показва, че ZF е последователен, че ZF не дава доказателство за хипотезата на континуума.
Тъй като ZF нито доказва, нито опровергава хипотезата на континуума, остава въпросът дали да приемем хипотезата на континуума, основана на неформална концепция за това, какви са множествата. Общият отговор в математическата общност е отрицателен: хипотезата на континуума е ограничаващо твърдение в контекст, в който няма известна причина за налагане на ограничение. В теорията на множествата операцията за задаване на мощност присвоява на всеки набор от кардиналност ℵ α своя набор от всички подмножества, който има кардиналност 2 ℵ α. Изглежда няма причина да се налага ограничение на разнообразието от подмножества, които може да има безкраен набор.
