История на анализа
Гърците срещат непрекъснати величини
Анализът се състои от онези части от математиката, в които е важна непрекъснатата промяна. Те включват изследване на движението и геометрията на гладките криви и повърхности - по-специално, изчисляване на допирателни, площи и обеми. Древногръцките математици постигнаха голям напредък както в теорията, така и в практиката на анализа. Теорията им е принудена около 500 г. пр. П. От питагорейското откриване на ирационални величини и около 450 bce от парадоксите на движението на Зенон.
Питагорейците и ирационалните числа
Първоначално питагорейците вярвали, че всички неща могат да бъдат измерени чрез дискретни естествени числа (1, 2, 3,
) и техните съотношения (обикновени дроби или рационалните числа). Тази вяра обаче се разклати от откритието, че диагоналът на единичен квадрат (тоест квадрат, чиито страни имат дължина 1) не може да бъде изразена като рационално число. Това откритие е породено от тяхната теорема на Питагор, която установява, че квадратът на хипотенузата на десен триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни - в съвременна нотация, c 2 = a 2 + b 2. В единичен квадрат диагоналът е хипотенузата на десен триъгълник, със страни a = b = 1; следователно, нейната мярка е квадратен корен от √2 - ирационално число. Против собствените си намерения, питагорейците бяха показали, че рационалните числа не са достатъчни за измерване дори на прости геометрични обекти. (Вж. Странична лента: Несъизмерими.) Тяхната реакция беше да създадат аритметика на линейни сегменти, както е намерено в Книга II на Евклидовите елементи (ок. 300 bce), която включваше геометрична интерпретация на рационални числа. За гърците сегментните линии бяха по-общи от числата, тъй като включваха непрекъснати, както и дискретни величини.
Всъщност, квадратният корен на √2 може да бъде свързан с рационалните числа само чрез безкраен процес. Това е осъществено от Евклид, който изучава аритметиката както на рационалните числа, така и на линейните сегменти. Известният му евклидов алгоритъм, когато се прилага към двойка естествени числа, води в краен брой стъпки към най-големия им общ делител. Въпреки това, когато се прилага към двойка линии от сегменти с ирационално съотношение, като квадратен корен от √2 и 1, той не успява да прекрати. Евклид дори използва това свойство за неутрализиране като критерий за ирационалност. По този начин ирационалността предизвиква гръцката концепция за числото, като ги принуждава да се справят с безкрайни процеси.
Парадоксите на Зенон и концепцията за движение
Точно както квадратният корен на √2 беше предизвикателство за концепцията за числото на гърците, парадоксите на Зенон бяха предизвикателство за тяхната концепция за движение. В своята Физика (ок. 350 г. пр. Н. Е.) Аристотел цитира Зенон:
Няма движение, защото това, което е преместено, трябва да пристигне в средата [на курса], преди да пристигне в края.
Аргументите на Зенон са известни само чрез Аристотел, който ги цитира главно, за да ги опровергае. Предполага се, че Зенон е имал предвид, че за да стигнеш докъдето и да било, първо трябва да изминеш половината път, а преди това една четвърт от пътя и преди тази една осма от пътя и така нататък. Тъй като този процес на съкращаване на разстоянията ще продължи в безкрайност (концепция, която гърците не биха приели за възможна), Зенон твърдеше, че „доказва“, че реалността се състои в неизменна същност. И въпреки това, въпреки отвращението си от безкрайността, гърците откриха, че концепцията е незаменима в математиката на непрекъснатите величини. Така те разсъждаваха за безкрайността възможно най-крайно, в логическа рамка, наречена теория на пропорциите и използвайки метода на изтощение.
Теорията за пропорциите е създадена от Евдокс около 350 г. пр. Н. Е. И запазена в Книга V на Евклидовите елементи. Той установи точна връзка между рационалните величини и произволните величини, като определи две величини за равни, ако рационалните величини по-малки от тях бяха еднакви. С други думи, две величини бяха различни, само ако имаше рационална величина строго между тях. Това определение служи на математиците в продължение на две хилядолетия и проправи пътя за аритметизацията на анализа през 19 век, в която произволни числа бяха строго определени по отношение на рационалните числа. Теорията за пропорциите беше първото строго третиране на концепцията за граници, идея, която е в основата на съвременния анализ. В съвременни условия теорията на Евдокс определя произволните величини като граници на рационалните величини, а основните теореми за сумата, разликата и произведението на величините са еквивалентни на теоремите за сумата, разликата и произведението на границите.
