Логика и металогичност
В един смисъл логиката трябва да се идентифицира с предикатното смятане от първия ред, смятането, при което променливите са ограничени до индивиди от фиксиран домейн - макар че може да включва и логиката на идентичност, символизирана „=“, която приема обикновените свойства на идентичността като част от логиката. В този смисъл Готлоб Фреге постигна формално смятане на логиката още през 1879 г. Понякога обаче логиката се тълкува като включваща и предикатни калкули от по-висок ред, които допускат променливи от по-висок тип, като тези, разположени по предикати (или класове и отношения) и така нататък. Но тогава това е малка стъпка към включването на теорията на множествата и всъщност аксиоматичната теория на множествата често се разглежда като част от логиката. За целите на тази статия обаче е по-удачно дискусията да бъде ограничена до логика в първия смисъл.
Трудно е да се разграничат значимите констатации в логиката от тези в металогията, защото всички теореми, представляващи интерес за логиците, са за логиката и следователно принадлежат към металогичните. Ако p е математическа теорема - по-специално една за логиката - и P е съединението на математическите аксиоми, използвани за доказване на p, тогава всяко p може да се превърне в теорема, „или не-P или p“, в логиката. Математиката обаче не се прави, като се провеждат изрично всички стъпки, формализирани в логиката; подборът и интуитивното разбиране на аксиомите са важни както за математиката, така и за метаматематиката. Реалните производни в логиката, като тези, извършени непосредствено преди Първата световна война от Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел, представляват малък интерес за логиците. Следователно може да изглежда излишно да се въведе терминът metalogic. В настоящата класификация обаче металогията се разглежда като занимаваща се не само с констатациите за логическите изчисления, но и с проучванията на формалните системи и официалните езици като цяло.
Обикновената формална система се различава от логическото смятане по това, че системата обикновено има интерпретация по предназначение, докато логическото смятане оставя откритите възможни интерпретации. Така човек говори например за истинността или лъжливостта на изреченията във формална система, но по отношение на логическото смятане се говори за валидност (т.е., че е вярна във всички тълкувания или във всички възможни светове) и за удовлетворимост (или да има модел - т.е. да е вярна в някаква конкретна интерпретация). Следователно, пълнотата на логическото смятане има съвсем различно значение от това на формалната система: логическото смятане позволява много изречения, така че нито изречението, нито неговото отрицание да е теорема, защото е вярно в някои интерпретации и невярно в други, и изисква се само всяко валидно изречение да е теорема.
