Вълни на дълбока вода
Едно конкретно решение на уравнението на Лаплас, което описва движението на вълната по повърхността на езеро или на океана, е
В този случай оста x е посоката на разпространение, а оста z е вертикална; z = 0 описва свободната повърхност на водата, когато тя е необезпокоявана, а z = -D описва дънната повърхност; ϕ 0 е произволна константа, която определя амплитудата на движението; и f е честотата на вълните и λ тяхната дължина на вълната. Ако λ е повече от няколко сантиметра, повърхностното напрежение е без значение и налягането в течността точно под свободната й повърхност е атмосферно за всички стойности на x. Може да се покаже, че при тези обстоятелства движението на вълната, описано от (161), е в съответствие с (157), само ако честотата и дължината на вълната са свързани с уравнението
и от това може да се изведе израз за скоростта на вълните, тъй като V = fλ. За плитка вода (D << λ) се получава отговорът, който вече е цитиран като уравнение (138), но за дълбоката вода (D >> λ) отговорът е
Вълните на дълбоката вода очевидно са дисперсивни и сърфистите разчитат на този факт. Буря в средата на океана смущава повърхността по хаотичен начин, който би бил безполезен за сърфиране, но докато компонентните вълни пътуват към брега, те се разделят; тези с дълга дължина на вълната се движат пред тези с къси дължини на вълната, защото пътуват по-бързо. В резултат вълните изглеждат добре редовни по времето, когато пристигат.
Всеки, който е наблюдавал вълните зад подвижен кораб, ще знае, че те са ограничени до V-образна зона на водната повърхност, като корабът е на върха му. Вълните са особено изпъкнали върху раменете на V, но те могат да се различават и между тези рамена, където вълновите гребени се извиват по начина, посочен на фигура 12. Изглежда, че широко се смята, че ъгълът на V става по-остър, тъй като лодката се ускорява, много по начин, по който коничната ударна вълна, придружаваща свръхзвуков снаряд, става по-остра (виж фигура 8). Това не е така; диспергиращата характер на вълни на дълбока вода е такава, че V е фиксиран ъгъл на 2 грях -1 (1 / 3) = 39 °. Томсън (лорд Келвин) беше първият, който обясни това и затова V-образната област вече е известна като клина на Келвин.
Версия на аргумента на Thomson е илюстрирана от диаграмата на фигура 13. Тук S („източникът“) представлява носа на кораба, който се движи отляво надясно с еднаква скорост U, и линиите, обозначени C, C ′, C ″ И т.н., представляват набор от паралелни гребени на вълната, които също се движат отляво надясно. Може да се покаже, че S ще създаде този набор от гребени, ако, но само ако, той се движи непрекъснато върху етикета C. (Може също така да се покаже, че макар гребените в множеството да продължават неограничено вляво от C, там не може да бъде никой вдясно от този.) Условието, че S и C се движат заедно, показва, че има връзка между дължината на вълната λ и наклона α, изразена от уравнението
Това условие очевидно може да бъде удовлетворено от много други набори от гребени, освен тази, представена с пълни линии на фигурата - напр. От множеството с малко по-малка дължина на вълната λ ′, която е представена от начупени линии. Когато се вземат предвид всички множества, които удовлетворяват (164) и имат дължини на вълните, междинни между λ и λ ′, става очевидно, че в по-голямата част от областта зад източника те се намесват разрушително. Те се подсилват, но в близост до кръстовищата, които са звънени на фигурата. Тези пресечни точки лежат на линия през S на наклон β, където
От това следва, че ъгъла а може да приеме всяка стойност между 90 ° (съответстващи на λ = λ макс = 2πU 2 / г) и нула, тен β никога не може да надвишава 1 / 2 Квадратен корен of√2 и β грях може никога надвишава 1 / 3.
Корабите губят енергия към вълните в клина на Келвин и изпитват допълнителна съпротива за тази сметка. Съпротивлението е особено високо, когато вълновата система, създадена от лъка, където водата се изтласква настрани, подсилва вълновата система, създадена от „антиизточника“ на кърмата, където водата се затваря отново. Такова усилване може да възникне, когато ефективната дължина на лодката, L, е равна на (2n + 1) λ max / 2 (с n = 0, 1, 2, …) и следователно, когато числото на Froude, U / Квадратният корен на √ (Lg), приема една от стойностите [Квадратният корен на √ (2n + 1) π] −1. Въпреки това, след като една лодка е ускорена покрай U = Квадратният корен на √ (Lg / π), лъка и кърмата вълни са склонни да отменят, а съпротивата в резултат на създаване на вълна намалява.
Вълните на дълбоката вода, чиято дължина на вълната е няколко сантиметра или по-малка, обикновено се наричат пулсации. При такива вълни разликите в налягането върху извитата повърхност на водата, свързани с повърхностното напрежение (виж уравнение [129]), не са пренебрежими и подходящият израз за скоростта им на разпространение е
Следователно скоростта на вълната е голяма за много къси дължини на вълната, както и за много дълги. За водата при нормални температури V има минимална стойност от около 0,23 метра в секунда, където дължината на вълната е около 17 милиметра и от това следва (обърнете внимание, че уравнение [164] няма реален корен за α, освен ако U надвишава V), че обект се движи чрез водата не може да създава никакви вълнички, освен ако скоростта му не надвишава 0,23 метра в секунда. Вятърът, който се движи над повърхността на водата, също не създава вълнички, освен ако скоростта му не надвишава определена критична стойност, но това е по-сложно явление и въпросната критична скорост е значително по-висока.
